Теорема Виета: формулировка и как использовать
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Она позволяет находить корни устно, когда они целые.
Для приведённого уравнения
Для x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p x₁ · x₂ = q
Пример: x² − 7x + 12 = 0. Ищем два числа с суммой 7 и произведением 12. Это 3 и 4.
Для общего вида
Для ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a
Либо разделите всё уравнение на a и работайте с приведённым видом.
Как подбирать корни
Начинайте с произведения — у него меньше вариантов разложения.
x² + x − 6 = 0: произведение −6, значит знаки корней разные. Варианты: (−1, 6), (1, −6), (−2, 3), (2, −3). Сумма должна быть −1. Подходит (2, −3).
Обратная теорема и задачи
Если сумма двух чисел равна −p, а произведение q, то эти числа — корни уравнения x² + px + q = 0. Так составляют уравнение по известным корням.
Частая задача: найти сумму квадратов корней, не находя сами корни. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = p² − 2q
Частые вопросы
Когда Виет не поможет?
Когда корни иррациональные или дробные — подобрать их устно не выйдет. Тогда считайте дискриминант.