Как решать квадратные уравнения: дискриминант, Виет и разложение
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Три способа решения дают один и тот же ответ, но экономят разное количество времени. Разберём, когда какой выбирать.
Способ 1. Через дискриминант — работает всегда
Дискриминант считается по формуле D = b² − 4ac. Он показывает, сколько у уравнения корней: если D > 0 — два корня, если D = 0 — один, если D < 0 — действительных корней нет.
Корни находим по формуле x = (−b ± √D) / (2a).
Пример: 2x² − 5x + 3 = 0. Здесь a = 2, b = −5, c = 3. D = 25 − 24 = 1, значит корня два. x₁ = (5 + 1) / 4 = 1,5 и x₂ = (5 − 1) / 4 = 1.
Этот способ универсален: он сработает с любыми коэффициентами, даже некрасивыми.
Способ 2. Теорема Виета — быстрее, но не всегда
Если уравнение приведённое (то есть a = 1, вида x² + px + q = 0), корни связаны так: x₁ + x₂ = −p и x₁ · x₂ = q.
Пример: x² − 5x + 6 = 0. Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении 6. Это 2 и 3 — они и есть корни.
Виет экономит время на уравнениях с целыми небольшими корнями. Но если корни дробные или иррациональные, подобрать их в уме не выйдет — возвращайтесь к дискриминанту.
Способ 3. Разложение на множители
Иногда левую часть можно разложить и не считать дискриминант вовсе.
Пример: x² − 9 = 0. Это разность квадратов: (x − 3)(x + 3) = 0, откуда x = 3 или x = −3.
Пример: x² − 4x = 0. Выносим x за скобку: x(x − 4) = 0, откуда x = 0 или x = 4.
Работает, когда c = 0 или когда видна формула сокращённого умножения.
Где обычно ошибаются
• Теряют минус в коэффициенте b. Если b = −5, то −b = +5, а не −5. • Забывают, что при D < 0 действительных корней нет, и всё равно извлекают корень. • Применяют теорему Виета к неприведённому уравнению — сначала надо разделить всё на a. • Не проверяют ответ. Подставьте корни обратно в уравнение: если получилось 0 — всё верно.
Как проверить себя
Самая надёжная проверка — подстановка. Возьмите найденный корень и подставьте его в исходное уравнение вместо x. Если левая часть обратилась в ноль, корень верный.
Для 2x² − 5x + 3 = 0 и x = 1: 2 · 1 − 5 · 1 + 3 = 0. Сходится.
Частые вопросы
Что делать, если дискриминант отрицательный?
В школьном курсе это значит, что действительных корней нет — так и записывайте в ответ. Комплексные корни проходят уже в вузе.
Можно ли всегда решать через дискриминант?
Да, дискриминант работает для любого квадратного уравнения. Виет и разложение — просто способы сэкономить время в удобных случаях.
Как быть, если a не равно 1, а Виет применить хочется?
Разделите обе части уравнения на a, чтобы получить приведённый вид x² + px + q = 0. После этого теорема Виета применима.