Дискриминант: формула, что означает и как применять
Дискриминант — это число, которое заранее говорит, сколько корней у квадратного уравнения. Его считают до того, как искать сами корни, чтобы не тратить время впустую.
Формула
Для уравнения ax² + bx + c = 0 дискриминант равен D = b² − 4ac.
Обратите внимание: в формуле именно b², а не b. Знак коэффициента b на дискриминант не влияет, потому что при возведении в квадрат минус исчезает.
Три случая
D > 0 — два различных корня: x = (−b ± √D) / (2a).
D = 0 — один корень (говорят «два совпавших»): x = −b / (2a).
D < 0 — действительных корней нет. График параболы не пересекает ось X.
Примеры
x² − 6x + 9 = 0: D = 36 − 36 = 0, значит корень один — x = 3.
x² + x + 1 = 0: D = 1 − 4 = −3 < 0, действительных корней нет.
x² − 7x + 12 = 0: D = 49 − 48 = 1 > 0, корни x = 4 и x = 3.
Связь с графиком
Дискриминант показывает, как парабола расположена относительно оси X. При D > 0 она пересекает ось в двух точках, при D = 0 — касается её в одной, при D < 0 — проходит выше или ниже, не касаясь. Это удобно для проверки: если по графику видно два пересечения, а вы получили D < 0 — ищите ошибку в вычислениях.
Частые вопросы
Почему в формуле минус перед 4ac?
Формула выводится через выделение полного квадрата. Минус появляется естественным образом при преобразовании — это не соглашение, а результат вывода.
Что если a = 0?
Тогда уравнение не квадратное, а линейное: bx + c = 0. Дискриминант к нему неприменим, решается просто: x = −c / b.