Степени и корни: свойства и как упрощать выражения

Алгебра · 7-9 класс

Степень — это краткая запись умножения числа на себя. Корень — обратная операция. Все правила работы с ними выводятся из этого.

Свойства степеней

aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ a⁰ = 1 (при a ≠ 0) a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Важно: складывать показатели можно только при одинаковом основании.

√(a · b) = √a · √b √(a / b) = √a / √b √(a²) = |a| — модуль обязателен, потому что корень неотрицателен

Дробный показатель: a^(1/n) = ⁿ√a, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

Раскладываем подкоренное число так, чтобы выделить полный квадрат.

√50 = √(25 · 2) = 5√2 √72 = √(36 · 2) = 6√2 √18 = √(9 · 2) = 3√2

После этого подобные слагаемые можно складывать: √50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2

Домножаем числитель и знаменатель на подходящее выражение.

1/√2 = √2 / 2 1/(√3 − 1) = (√3 + 1) / ((√3 − 1)(√3 + 1)) = (√3 + 1) / 2

Почему √(a²) = |a|, а не просто a?

Потому что корень по определению неотрицателен. Если a = −3, то √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|.