Площадь треугольника: все формулы и когда какую применять
Площадь треугольника считают по-разному в зависимости от того, что известно из условия. Разберём все школьные формулы и признаки, по которым выбирают нужную.
Через основание и высоту
S = ½ · a · h, где a — сторона, h — опущенная на неё высота.
Самая частая формула. Работает для любого треугольника, если известна высота.
Пример: основание 10, высота 6. S = ½ · 10 · 6 = 30.
Через две стороны и угол между ними
S = ½ · a · b · sin C
Применяют, когда высота неизвестна, но известны две стороны и угол между ними.
Пример: стороны 8 и 5, угол между ними 30°. S = ½ · 8 · 5 · 0,5 = 10.
Формула Герона — когда известны три стороны
S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр.
Пример: стороны 3, 4, 5. Полупериметр p = 6. S = √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6.
Через радиусы окружностей
Через вписанную окружность: S = p · r, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
Через описанную окружность: S = (a · b · c) / (4R), где R — радиус описанной.
Частные случаи
Прямоугольный треугольник: S = ½ · a · b, где a и b — катеты. Высота здесь совпадает с катетом, поэтому формула упрощается.
Равносторонний треугольник со стороной a: S = (a² · √3) / 4.
Как выбрать формулу
Посмотрите, что дано в условии: • сторона и высота к ней → S = ½ah • две стороны и угол между ними → S = ½ab·sin C • три стороны → формула Герона • вписанная окружность → S = pr • описанная окружность → S = abc/(4R)
Частые вопросы
Можно ли применить формулу Герона к прямоугольному треугольнику?
Да, она работает для любого треугольника. Но для прямоугольного проще посчитать через катеты: S = ½ab.
Что делать, если высота выходит за пределы треугольника?
В тупоугольном треугольнике высота может падать на продолжение стороны. Формула S = ½ah при этом остаётся верной — важна длина высоты, а не её расположение.