Объёмы тел: формулы для куба, призмы, пирамиды, шара
Объёмы делятся на две группы: тела с постоянным сечением (объём = площадь основания на высоту) и тела, сужающиеся к вершине (там появляется коэффициент 1/3).
Тела с постоянным сечением
Куб: V = a³ Прямоугольный параллелепипед: V = a · b · c Призма: V = S_осн · h Цилиндр: V = πr² · h
Общее правило: объём равен площади основания, умноженной на высоту.
Тела с вершиной
Пирамида: V = ⅓ · S_осн · h Конус: V = ⅓ · πr² · h
Коэффициент ⅓ появляется у всех тел, сужающихся к точке. Пирамида занимает ровно треть призмы с тем же основанием и высотой.
Шар
Объём: V = (4/3)πr³ Площадь поверхности: S = 4πr²
Шаровой сегмент и сектор считаются по отдельным формулам, но в базовом курсе встречаются редко.
Единицы измерения
Следите за размерностью: если стороны в сантиметрах, объём в кубических сантиметрах.
1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³ 1 л = 1 дм³ = 1000 см³
Частые вопросы
Откуда берётся коэффициент 1/3 у пирамиды?
Строго он выводится через интегрирование, но наглядно: призму можно разрезать на три равные пирамиды с тем же основанием и высотой.