Окружность: центральные и вписанные углы

Геометрия · 8-9 класс

Углы в окружности подчиняются нескольким правилам, из которых выводятся почти все задачи планиметрии на окружность.

Центральный и вписанный угол

Центральный угол равен дуге, на которую опирается.

Вписанный угол равен половине дуги, то есть половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Следствие: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой — 90°.

Это самое частое свойство в задачах. Увидели диаметр и вписанный угол — сразу отмечайте прямой угол.

Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри него.

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна 180°.

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны.

Для треугольника: центр описанной — пересечение серединных перпендикуляров, центр вписанной — пересечение биссектрис.

Как найти вписанный угол, зная дугу?

Разделить градусную меру дуги пополам. Дуга 80° даёт вписанный угол 40°.