Пропорции и отношения: основное свойство и задачи
Пропорция — это равенство двух отношений. На её основном свойстве строятся все задачи на масштаб, проценты и производительность.
Основное свойство
a : b = c : d, то есть a/b = c/d
Произведение крайних членов равно произведению средних: a · d = b · c
Отсюда любой неизвестный член находится сразу: x/4 = 6/8 → 8x = 24 → x = 3
Прямая пропорциональность
Увеличивается одно — увеличивается другое во столько же раз.
Пример: 3 тетради стоят 90 рублей. Сколько стоят 5? 3/90 = 5/x → 3x = 450 → x = 150 рублей.
Примеры: количество и стоимость, время и пройденный путь при постоянной скорости.
Обратная пропорциональность
Увеличивается одно — уменьшается другое во столько же раз. Пропорцию записывают наоборот.
Пример: 4 рабочих делают работу за 6 дней. За сколько дней сделают 3 рабочих? 4/3 = x/6 → 3x = 24 → x = 8 дней.
Примеры: количество рабочих и время, скорость и время при постоянном пути.
Как не перепутать
Спросите себя: если одна величина вырастет вдвое, что станет со второй? Тоже вырастет вдвое — прямая пропорциональность. Уменьшится вдвое — обратная.
Именно на этом чаще всего ошибаются в задачах про рабочих и трубы.
Частые вопросы
Как решать задачи на масштаб?
Масштаб 1:1000 означает, что 1 см на карте это 1000 см на местности. Дальше обычная пропорция.